Антон, прятать голову в песок и рассчитывать на то, что клиент не заметит — худшее из решений. Лучше сами признайте свою некомпетентность (вдаваться в подробности запоя дизайнера необязательно) и обозначьте новые сроки. Во‑первых, вы скажете правду, а во‑вторых, обезоружите клиента. Вместо того, чтобы обвинять вас (вы это сами уже сделали), клиент будет думать, как быть дальше.
А вот если промолчать и сделать вид, что всё как надо, то это грозит вам гораздо большими неприятностями. К тому же не забывайте, что если клиент сам не говорит о сроках, это не значит, что он о них не помнит.