Дмитрий, я считаю, что в сложившейся ситуации вашей вины больше.

Вы сами пишете, что пожелания и правки клиента — это естественно. Значит, вы заранее понимали, что если клиент предоставит вам материалы всего за две недели до дедлайна, то вы не успеете. Знали, но прямо не сказали: «Сергей, если через пять дней мы не получим тексты для раздела «О компании», то мы не сможем открыть сайт в срок, и нам придётся пересмотреть с вами условия договора. Что вы об этом думаете? Как мы можем помочь вам подготовить описания всех разделов?».

Вместо этого вы сгладили углы и ограничились мягкой просьбой, пусть и регулярной. Вы не сказали, что если завтра текстов не будет, сайт не откроем. Неудивительно, что клиент не воспринял ваши письма всерьёз и прочитал то, что хотел прочитать.

Так что в будущем однозначно прописывайте в договоре условия предоставления материалов и приёмки работ, чтобы избежать разночтений. А как только чувствуете, что срок может поползти, сразу обсуждайте проблему с клиентом и не отступайте, пока не придёте к конкретному решению.

Но если уж вы оказались в подобной ситуации, вы не обязаны сразу соглашаться с требованием клиента.

Чтобы лучше контролировать эмоции оппонента, договоритесь о личной встрече — не ведите подобные переговоры по переписке.

На встрече признайте вину за то, что недостаточно жёстко контролировали сроки (а не за то, что долго делали). Не обвиняйте клиента. Подчеркните, что работа занимает столько, сколько занимает, но вы, конечно же, должны были сказать об этом раньше.

Разберитесь, чем вызвано желание наказать вас деньгами. Может быть не устраивают не только сорванные сроки, но и работа?

Если даже после встречи клиент настаивает на формальном соблюдении договора и готов идти в суд, придётся уступить. Выгоднее предложить какой-нибудь бонус к следующей итерации или отработать долг, чем платить живыми деньгами.

Предлагаю уважаемым советчикам помочь сформулировать извинение к началу встречи.