Вы потеряли клиента и пытаетесь разобраться, где именно проблема в переписке. А проблема переписки в том, что в ней невозможно разобраться. Непонятно ни что хотел заказчик, ни что вы пытались ему предложить.

Вести переговоры письменно, а тем более в чате — большая ошибка. Вам надо было встретиться или позвонить клиенту и задать ему вопросы. Тогда вы бы управляли разговором и сдерживали эмоции.

Возьмём для примера вашу фразу:

«Именно, я занимаюсь дизайном. Моя задача — достичь тех целей, которые нужны клиенту».

Звучит грубо. Вы говорите о заказчике в третьем лице и тоном, словно объясняете дураку прописную истину, которую он никак не может понять. Сомневаюсь, что в живом разговоре вы бы позволили себе такое.